在这次讲座中，我们将了解电流和高斯的法律。在静电学中，高斯法律的主要目标是找到电场对于给定的电荷分布，由封闭的表面包围。

您可以观看以下视频或阅读视频下方的书面教程。

电通量

为了理解高斯的法律，首先我们需要了解电信术语。

电通量是电场通过给定表面的流动速率。

它是穿透表面的电场的量。该表面可以打开或关闭。

电通量通过开口表面

首先，我们来看一个通过开放表面的电通量的例子。

红线表示均匀电场。我们将引入一个矩形，这是一个开放区域，我们将把它分成非常小的元素，每个元素的大小都是dA(面积的微分)。

现在我们把面积dA变成一个矢量，大小为。向量方向总是垂直于小元素dA。

通过这个小区域的电通量dφ(也称为通量的微分)被定义为电场E的大小和向量面积dA的大小的点积，乘以这两个向量的夹角θ。

总通量将是Dφ的积分，或者在E·DA的整个区域上的积分。

它是一个标量，最终结果可以是积极的或者消极的。如果磁通量从内部到外部，我们称之为积极的助焊剂，如果它从外面到内部，那就是负面的助焊剂。

电气通量的单位是每豆间平方的牛顿仪表（NM²/ C)。

为了更好地理解什么是电通量，我将引入电场三个矩形。事实上，这些矩形代表了一个不同方向的矩形。现在我们来解释一下通过每一个开放区域的流量。

在第一情况下，该区域垂直于电场，并且其向量θ之间的角度为0°。Cos0°是1，因此电量将是EDA。在这里我们有最大流量。

在第二种情况下，E和dA θ之间的夹角是60°，cos60°是0.5，所以电通量是EdA的一半。

在第三种情况下，面积平行于电场，这意味着它们的矢量相互垂直，它们之间的角θ是90°。Cos90°是0，所以这里的电通量是0。这意味着没有东西能穿过这个矩形，所以我们有零通量。

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通过闭合表面的电通量

现在，让我们来看看完全关闭的表面。

我们如何定义通量?

在这里，我们将一些法线，das置于不同的方向。按照惯例，封闭表面的正常始终从内部到外部点。

现在我们可以计算通过这个闭合表面的总通量。总通量等于dφ对整个表面的积分，我们把它写成E·dA对封闭表面的积分。

总通量可以是正的，负或等于零。如果相同量的助焊剂进入并离开表面，我们有零总助焊剂。如果更多的磁通量是离开而不是进入表面，那么我们有阳性总助焊剂。相反，如果进入表面的通量大于离开表面的通量，我们有a消极的总通量。

高斯的法律

让我们看另一个例子，看看电通量是如何与高斯定律相关的。

我们有一个点电荷+Q，在半径为r的球体中心，现在我们取一小段dA，它垂直于表面，呈径向向外。Q在这一点产生的电场也是向外的。这意味着dA和E在球面上的任何地方都平行于对方，它们之间的夹角θ是0°，cos0°是1。

通过小表面积的差异通量，Dφ等于EDA。

总通量φ等于dφ的积分，dφ是封闭曲面EdA上的积分。各处电场的大小都是一样的，因为每一点到电荷的距离都是一样的，所以我们可以把它提出来，剩下EA。

球体A的总面积是4πr²。

从上一个视频中，我们知道E等于K次Q除以r²等于Q除以4πE₀R²。

并且通过该封闭表面的总通量仅仅是4πr²。这里我们可以消去4r²我们可以注意到总通量等于Q除以E₀, E₀为自由空间的介电常数。

通量不取决于距离r。我们会得到相同的结果，无论大小的封闭表面围绕点电荷。

如果我们把更多的电荷带入闭合表面会怎样?

这个方程也适用于任何内部有电荷的系统。

这导致了我们对高斯的法律，该法律说，通过封闭表面的电气通量是封闭表面内的所有电荷Q的总和，除以自由空间介电常数₀。

如果通量为零，这意味着形状内没有净电荷。形状内部可能有正电荷和负电荷，但净电荷为零。

无论形状多么奇怪，高斯的法律总是持有，只要在表面内的电荷分布中存在对称性。

因此，为了计算电场，需要一个对称性。有些三种对称:球面、柱面、平面对称。

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球形对称：电场由于点电荷

我们将从球面对称开始。

这是一个薄的空心球，具有半径r，并将向薄壳上的正电荷q带到薄壳上。电荷均匀分布。

现在，我们需要找出球内距离R处的电场₁从圆心到球面外，距离为R₂从中心。要做到这一点，我们需要确定高斯曲面。在这种情况下，我们将选择同心球作为高斯曲面，半径为R的一个较小的球面₁和其他较大的半径r₂。

现在我们需要使用两个对称参数，帮助我们计算电场：

1. 第一对称参数表明，电场的大小在任何时候都是相同的，因为这里的电荷均匀分布。
2. 第二个对称性参数表明，如果存在电场，则必须将径向向外或径向向内点。在这个例子中，我们有一个正电荷，这意味着该领域的指向。

根据前面的方程，我们知道球体的表面积是4πr²乘以电场E的大小等于球体内部的电荷Q，除以自由空间的介电常数E₀。但是我们在较小的球体内部没有电荷，因此电场为零。

如果一个封闭的表面周围没有净电荷，那么通过它的净通量将为零。

现在，让我们看看较大的球体会发生什么。

对称参数也适用于此球体。但是，如果我们看看等式，我们会注意到q不零，那里有一个球体。

所以电场的大小等于Q_封闭除以4πE₀R₂²。

球对称图

在这个图上，x轴是距离r, y轴是电场的大小E。在R点之前，也就是初始球的半径，没有电场，但它达到最大值，随着距离的增加而减小。

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圆柱对称：电场由于电荷线

第二种对称是圆柱对称。

Let’s say we have an infinite line of positive charge, with uniform linear charge density λ, and we want to figure out what the electric field is at some point above the line, at distance R. Here, we’ll choose a cylinder as a Gaussian surface with a center along the line of charge. We don’t have an electric field through the end caps, the electric field will be pointing out through the wall of the cylinder. Also, we have symmetry here, which allows us to use Gauss’s law in order to calculate the electric field.

我们可以用以前用过的方程来计算通量。但是现在，我们需要找到圆柱的表面积，包括圆柱壁，不包括端盖。为此，我们需要沿着圆柱体的长度切割它，我们会发现它的面积等于2πrL。所以，2πRL乘以E等于电荷之和除以E₀。

电荷密度λ是总电荷Q每长度L，所以Q_封闭等于λL。所以，2πRLE等于λL / E₀。

电场等于λl除以2πrle₀。l取消外，所以电场等于λ除以2π₀。

平面对称：电场由于无限的板

最后一种对称是平面对称。

在这个例子中，我们有一个平坦的，无限大的水平平板。我们把一个电荷放到这个平板上，电荷密度σ是均匀的。

σ实际上是每面积的电荷量，在每平方米的库仑（C / M）中表示²)。

现在，我们想计算该板的周围区域的电场，让我们在距离d。在这种情况下，我们将再次选择一个气缸作为高斯表面。汽缸与板相交，并且在该交叉点中，我们具有封闭的电荷。

为了能够计算电场，我们需要满足三种条件：

1. 首先，具有区域A的气缸端盖必须平行于板。
2. 第二，圆柱体的壁必须垂直于平板。
3. 第三，板材到端盖的距离d，一定要上下板材相同。

既然我们满足了对称性的要求，我们就可以用高斯定律来计算电场。没有任何水平方向的电场分量，只有垂直方向的，从两个端盖出来的。

σ等于电荷除以表面。从这个方程我们可以看到电荷Q等于σ乘以面积A。

来自圆柱壁的焊剂等于零，因此总磁通量由两个部件组成：通过顶盖通过顶盖通过圆柱的底盖的通量加上磁通。这等于q_封闭除以E.₀σA / E₀。而且通过顶部的磁通量和通过底部的通量可以表示为EA，因此总通量等于2ea。

最后，电场等于除以2E₀。

如果平板带正电，电场就会指向外面。如果平板带负电荷，电场就会指向内部。

平面对称图

如果我们在x轴上的距离d绘制一个图表，并且在y轴上的电场e上，我们会注意到电场的恒定值σ/ 2e₀它与到平面的距离无关。

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平面对称:由两块平行板形成的电场

现在让我们来看看两个无限大的平行板的另一个复杂情况。

第一板具有表面电荷密度+σ，下面的板具有表面电荷密度-Σ。它们之间的距离是d。

那么，任何地方的电场是空间的什么？

带正电的平板有一个指向远离平板的电场，等于σ/2E₀。它不取决于到平板的距离，所以它继续向下。

带负电荷的平板有一个指向平板的电场，也等于σ/2E₀。

为了计算总电场，我们将通过添加向量来使用叠加原理。

相反方向的向量抵消了，所以这里的电场是零。平板之间的矢量方向相同，所以电场是σ/E₀。

电场线将远离带正电的板并朝向带负电板，外部电场将是零。

这就是电通量和高斯定律。我希望您喜欢本教程并学到了一些新东西。请在下面的评论部分提出任何问题。